数学问题解决与联想教学（一）

——“数学问题解决”、“联想思维”的概念及相互关系

鲁燕春

社会发展对人的要求越来越高，加强对学生创新意识和创新能力的培养已成为当今教育改革的大趋势。在小学数学教学中，越来越突出学生提出问题、分析问题和解决问题能力的培养，因此，在当今教学理论研究领域和一线教学实践领域，“问题解决”成为小学数学教学工作者研究的一个重点和热点。另一方面，在数学教学中，联想思维作为沟通数学对象和有关知识间相互联系的载体，在学生认知和解决问题的过程中起着纽带和桥梁的作用。因此，本文探讨小学数学教师在教学过程中如何培养学生联想思维，将“问题解决”的教学活动与联想思维培养相结合。

数学上的“问题”概念是由美籍匈牙利著名数学教育家波利亚在《数学的发现》一书中提出的。所谓“问题”就是意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不能立即可及的目标。通常，教学中的“问题”是一种情境，它是个人觉察到的一种有目的却又不知道如何达到的心理上的困境。在问题解决过程中，联想是一个重要的方法，通过从一事物而想到相关联的另一事物、由一概念而想到相关联的另一概念的思维过程，有效完成从问题起点到问题终点的连接。在实际数学教学中应用联想教学法，其关键在于教师能指导和帮助学生留心观察各种数学事物的原型，找出概念之间相联系的共同点，并利用这种相联系的共同点及时将思维聚焦于新概念和新模型上，寻求到相似或相反的解决问题的方法。

巴甫洛夫认为，联想是由两个或几个刺激物同时或连续地发生作用而产生的暂时神经联系，所以说记忆必须以联想为基础，联想是打开记忆大门的金钥匙。因此，联想教学的核心特征是把看似没有关联的知识联系起来，建立不同知识之间的关联，并最终在在学生的大脑中形成一个知识网络，在这个网络中每个知识点都是一个结点，每个知识点都不是孤立的，从任何一个知识点出发都可以找到其相关的知识结点，并迅速定位该知识结点在网络中的位置。在数学解题教学中，教师应该积极引导和帮助学生通过不同形式的“找点式”的联想，贯通尽可能多的已学知识点，促使思维沿纵向、横向或跳跃式地发散，获取多途径的解题方法，探知新的结论，从而使学生分析问题、解决问题的能力不断提高。

数学问题解决与联想教学（二）

——“联想思维”在数学“问题解决”过程中完善学生的认知结构

陈继

在引入新知识，获得新结论的过程中，教师应引导学生从新面临的学习内容联想到已学知识，把新的知识点转化和纳入到已学知识体系，不断构建更加完善的认知结构。例如：在执教人教版第十一册《圆的面积》时，教师可以先设置问题情境：此前我们已经掌握了由线段围成的长方形、正方形、平行四边形等平面图形的面积计算方法，那么我们能否找到由曲线围成的圆的求积方法呢？教师应给学生以一定的时间去思考新问题，展开联想和比较。在学生有所“愤”的时候教师顺势启发学生：为什么我们在学习平面图形的求积方法时，先是研究长方形和正方形？为什么我们在研究平行四边形的求积方法时要借助于长方形？师生共同回想而得出这样一个事实：第一个问题是由面积单位的概念决定的，如“边长是1厘米的正方形的面积是1平方厘米”，长方形和正方形能很方便地分割成若干个面积单位，长的厘米数可以理解为每一行中面积单位的个数，宽的厘米数可以理解为面积单位的行数，每行个数乘以行数就是面积单位的总个数，即总面积。在第二个问题中，利用割补法可以将平行四边形拼成一个等积的长方形，借助长方形就自然能推导出平行四边形的求积方法，这是“联想已知解未知”的好策略。通过如此联想引导，帮助学生完成了新问题与旧知识的联接，老师就可以放手让学生对圆的求积方法进行具体探索了。学生由圆联想到长方形，就要想办法将圆割拼成长方形；在学生借助学具将圆拼成近似的长方形后，教师要引导学生进行联想和对比，思考新长方形的长相当于圆的什么，宽相当于圆的什么；最后通过长方形的“面积=底×高”得出圆的“面积=周长的一半×半径=2πr × r=πr2”。在解决这个数学问题的过程中，学生正是通过联想、操作、比较不断地寻求解决问题的方法和策略，并在解决问题的同时将新知识新方法有机地纳入了原有知识结构中，起到了积极的同化作用。同时，在日常生活中，数学问题无处不在，联想是将数学知识应用于实践的桥梁，也是解决实际问题时构建数学模型的通道，更是提高学生学科兴趣的有效途径之一，教师应积极地利用教材资源和环境资源，有效地开展好数学联想教学活动。例如在学习三角形、四边形时，引导学生联想生活环境中有哪些事物是三角形、四边形的，并进一步提问：为什么桥梁、单车的支架是三角形的？为什么商场的拉阐门是四边形的？在生与生、生与师之间大量的联想、比较、分析和争论中，使学生真正地把数学知识学活，也真正地让学生体会到数学的作用，从而增加了学生学习数学的兴趣。

数学问题解决与联想教学（三）

——借助“联想思维”提高学生数学“问题解决”能力的策略

陶冬芝

要在数学教学中灵活应用联想教学方法，提高学生解决数学问题的能力，笔者认为可以从四个方面入手：

   首先是重视教材基本学习和训练，借助纵向联想串联知识。在每学完一个单元内容后，教师应帮助学生系统地整理知识，用纵向联想的方法使知识结构化、有序化，让学生做一定数量的强化练习，并尝试用纵向联想法来获得多种解题方法。可以说，启发学生纵向联想，能有效促进学生的思维在一个单元范围内由前向后充分延伸下去，形成纵向知识结构表象，也能拓展解题策略。当然，教师要

从学生的实际认知水平出发，从有利于学生开展纵向联想出发来选编和设计习题，习题要有易有难，好中差程度学生兼顾，且各题所涉及的知识点不宜类同，应相互补充，尽可能覆盖整个单元的内容，重点突出，体现多种常见的解题思路和技能。

    其次是挖掘教材潜在知识点，借助横向联想来扩展知识结构。在数学教学中，如何挖掘教材的最大潜在点是每一个数学老师都要面对的课题。笔者从教授小学中年级数学课程开始，特别是在单元复习和学期总复习阶段，总是精选一些蕴含见合点的习题，引导学生突破这些习题原来所在单元的知识范围，用其它模块的数学知识和数学方法去思考求解。这样，使学生的思维横向发散开来，培养了学生对不同模块的数学知识相互渗透和融化的能力。横向联想，可以激发学生把教材知识学深、学活、学透。

    第三是引导学生勇于创新，在求异联想中获得成功体验。“求异联想”是指改变已习惯了的联想定势，“另辟蹊径”即从新的角度去联想和思考，以求得问题的解决。求异联想是创造思维的核心，是一种从多角度、多起点、多层次来思考问题的方法。很多数学家和科学家都赞赏求异联想的思维方式。作为数学教师更应在日常教学中积极鼓励和引导学生进行各种求异训练，如做一些一题多解的应用题和一题多结果的开放题，要肯定学生的异想天开，使求异思维成为学生追求学习成功的一个平台。例如，学完“亿以内数的读法”后，老师可以给学生出这样的思维训练题：“用3个0和4个7组成一个7位数，使组成的数要符合下面的要求：一个0也不读出来；读出一个0；读出两个0”。这道题的每一小题的答案都不是惟一的，遇到这样的题目，学生会相当活跃，每一个同学都会提出自己的多个答案，通过师生共同讨论让学生体验到成功的快乐，并从中领悟到有序思维的高效和周密。当求异联想成为学生的一种习惯之后，不满足于现有解题方法的内动力会促使学生创设更多新形象，设计更好新操作，从不同角度来探索问题解决的策略和途径。数学教师也可以多举一些前人大胆创新、大获成功的例子，这样可以大大激发学生求新求变的兴趣，大大推动学生联想思维的发展，培养学生勇于探索的精神和数学解题中的创新能力。

    最后是积极应用归纳和类比，让猜测联想强化学生的直觉能力。研究某类对象的一般属性时，先考察该类对象的部分特例，揣摩这些特例的共同性质，由此对该类对象做出一般性的猜想，这种思维方法称为归纳猜测法。研究某类对象的性质时，先联想出与它类似的某类对象，根据后者具有某种性质的事实，猜测前者具有某种类似的性质，这种思维方法称为类比猜测法。如在“数线段”的教

学中学生已经学会了如图所示的线段的数量，6个端点的线段会了，那么10个端点，13个端点呢？线段的数量会数了而且也能归纳方法了，那么角的个数、三角形的个数呢？这时教师就可以用类比联想的方法，把后面图中的角、三角形转化成数线段的方法，起到事半功倍的效果。

小学数学教学中,教师能经常性地引导学生进行觉能力”也就自然能得到提升。总之，联想是数学教学中问题解决的一把钥匙，它能沟通数学命题条件与结论之间的联系。当然，联想也是建立在牢固的基础知识和多样的解题思想方法基础之上的，教师要善于诱导学生抓住问题的实质性知识点，借助联想思维等手段，寻找问题的突破口，以此提高学生思维的应变能力和灵活性，实现问题解决的目的。