数学非连文本：催生“定量思维”的母机

            ——小学数学非连文本教学的思考

                     刘海粟小学     蒋  虹

【摘要】数学“定量思维”是一个复杂的系统工程，它的培育需要数学非连文本这样强大的工作母机。数学非连文本为学生创设了多元多变的信息空间，让他们在比较与选择中学会获取有用信息；在分析、归纳、概括与综合中掌握处理信息的策略，建构有效数学模型；在反思与评价中省视思维，补构知识方法网络。这样学生学到的才不仅仅是数学知识，而是如何进行数学思考，可持续学习力的培养才能成为现实。

【关键词】数学非连文本     定量思维

一、 从案例调查看数学非连文本的思维障碍

    【案例节选】调查显示，全球超过八成的青少年运动量不足，已影响他们的健康。为此，有关国际组织呼吁加强对青少年体育锻炼的宣传与指导。根据下列图标提供的信息解决问题。

    小强今年12岁,一次运动中测得他的心率为100次/分，本次运动的强度是否达到“FITT原则”的要求？请判断并说明理由。

    这个问题在一次测验中，55名学生有18人解答错误，通过对这些学生的错误情况分析，在解决问题的思维中主要有以下障碍：

1. 多元信息捕捉障碍

图中学生的错误答案千奇百怪，有些甚至涂抹空白（如图），深入分析他们有一个共同点：根本没有找到解决这个问题的关键信息源——“I强度：运动时心率至少达到最大心率的60%（最大心率=220-年龄）”，也就是俗话说的“没有读懂题目”，所以解决问题时他们就成了无头苍蝇，瞎碰乱撞。数学非连文本蕴含的信息容量大、碎片化、跳跃性、生活化，而很多小学生往往最缺乏的就是生活常识和社会经验，这样最初就已经存在的信息不对等特性，使得学生独立阅读题目获取相应信息的能力降低，从根本上阻碍了他们解决问题的思维路径。

2. 解决路径建构障碍

    从图中可以看出这些学生都找到了解决问题的关键信息源，但在用数学知识解读分析获取信息，解构并建构数学模型，解决问题时思维路径发生了错误。这题中有两个量“运动心率”和“最大心率”，而“最大心率”是60%的单位“1”,通过分析判断，这就是典型的百分数应用题的原型：可以先根据年龄算出小强的最大心率208次，然后算出符合“FITT原则”要求运动时应该达到的心率次数，最后与100次比较，或者也可以根据100次算出最大心率大约167次，然后与符合“FITT原则”要求的最大心率进行比较。

3. 基础技能辐射障碍

从图中可以看出这两位学生准确地找到了解决问题的关键信息源，并通过分析、概括、综合，形成了正确解决问题的思路和方法，但却发生了计算错误，这样错误的情况在解决数学非连文本时俯拾皆是。计算、单位换算、求近似数，不同数的互化等一些基础技能和方法掌握的不熟练，也会给问题的解决造成很大的屏障，使学生对解题过程的自我评价和认知产生不确定性，从而误导他们解题的思维路径，所以这些非本质解题属性的行为让高效思维路径藏得更深，抽丝剥茧后方能观其真颜。

二、 数学非连文本思维障碍归因探寻

学生解决数学非连文本问题思维出现障碍，剖析平时数学课堂中教师的教和学生的学，不难发现可能存在着以下几个因素：

1.教师认识狭隘引发学生的“不作为”。

为了提升教学质量，在平时的教学中教师注重运算能力的训练、解决问题能力的培养等，而非连文本练习较少。这样的训练更多是纯数学性的，逻辑抽象思维上的操练，就算指向生活经验，也只是准生活化的伪情境，而数学非连文本彻底向真实生活开放，实用性强，有的内容还涉及专业知识，所以有些教师认为非连文本超出了小学生思维水平的理解范畴，上了初高中自然而然就会了。正是教师这种认识上的狭隘直接导致了学生对数学非连文本的不重视。

2.教师能力失衡促使学生的“不能为”。

数学非连文本的教学对大多数数学教师而言是一个全新的概念，平时他们习惯于研读教材、优秀教学设计、教辅资料、《教师教学用书》等专业书籍，很少去专研与日常生活息息相关的形式多样的“非连文本”，知识涉及面及储备有限。正因为没有这样的研究习惯和学习经验，部分教师自身就缺乏解决数学非连文本的能力和素养，所以教师的这种能力失衡如何能有效促使学生解决数学非连文本思维能力的提升。

3.方法指导低效导致学生的“不会为”。

数学非连文本，综合性强，难度大，在解决过程中需要较高水平的思维参与，对学生来说是很大的挑战。它有其固有的规律，如果把握住它的种类、特点，能快速地提取信息、分析建构、应用反思进而新的创造。所以在非连文本教学中要对学生进行一系列行之有效的策略方法指导，让他们有法可依，适法可寻。然而有些教师因自身能力原因，在非连文本教学中模糊敷衍或一带而过，这样学生解决类似的问题时就无法进行方法的联想迁移，大大降低了解决问题的效率。

三、基于定量思维培养视域下数学非连文本教学策略研究的价值追求

1．数学非连文本与定量思维

数学非连文本是指由数据、表格、图表、图示、广告、清单、说明书、时刻表、地图等多种方式呈现丰富多元信息的一种数学文本，它是区别与我们熟知的句段组成的连续性文本而言的，具有直观、简洁、醒目、概括性强等特点，与人们的日常生活和工作紧密联系，具有很强的实用性。与语文学科相比，数学学习中存在着大量的不是连续性文本，而是非连续性文本，这是由数学学科自身的特点决定的，所以在数学中研究非连续性文本对学生的教育作用更有实用价值。

所谓定量思维，王梓坤院士提出从实际情境中提炼数学问题，把问题转化为数学模型，并能正确有效地解决问题，这个过程中的比较、分析、概括、综合、评价、创造等高层次的数学思维就是定量思维。

2.数学非连文本的解决过程与“定量思维”融合共生

从信息学习论的角度来看，数学非连文本解决的过程分为三个阶段：访问与检索、整合与解释、应用与反思，而根据每个阶段的目标任务，又需要不同的定量思维机制有机配合，它们的关系如下图:

3.数学非连文本对数学“定量思维”的重要意义

数学课程标准提出:数学课程要培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生创新意识和实践能力，体会数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，从而增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。数学非连文本的特性决定了它恰好是提升这些定量思维的最佳载体，因此只要坚持训练就一定能让数学“定量思维”从“培养概念”真正转变为“操作行为”。

（1）数学非连文本让数学思维从低阶迈向高阶。

一般的数学任务，只要单一或个别思维活动就能完成，长期浸润在这样浅显的问题情境下，学生的思维就无法得到锻炼，只能处于低阶水平。而数学非连文本综合性强，难度大，需要多种类多层次的思维方式协作活动。这样复杂的大问题驱动下，学生通过不断地获取信息，分析概括，抓住事物的本质和规律，从而解决一个个难题，这样他们的思维才能不断深入、不断提升，不断晋级。

（2）数学非连文本让数学思维从片面转向全面。

平时的数学问题条件单一，很多信息都是经过处理，然后呈现在学生面前的，这样大大降低了问题的难度。而数学非连文本信息源多，很多信息都是原生态呈现，关系错综复杂，学生得通过过自己的思维努力，进行多元信息获取和分析，才能抽丝剥茧，发现解决问题的关键。 长期在这样复杂的情境中思考问题，学生的思维会变得更具系统性、整体性、结构性和立体性。

（3）数学非连文本让数学思维从模仿走向迁移。

有的数学老师总有这样的疑惑：在讲解时学生都会做，而到了他们独立完成时却不会分析。其实这是因为平时解决简单问题时学生大多数只是处于模仿的阶段，而没有完成知识的自我建构，那要求他们能做到方法迁移那简直是天方夜谭。而长期进行数学非连文本的训练，学生积累从不同角度利用多种策略解决问题的经验，思维不断从“综合—分析”“分析—综合”这样的阶段灵活转换，方法迁移能强。

四、基于定量思维培养视域下数学非连文本教学策略微探

基于数学非连文本的特点和现实价值，本人就平时教学中的一些想法和做法与大家一起分享探讨。

（一）信息获取——催生“定量思维”的首要阶段

在解决数学非连文本时，很多学生反映看不懂题目意思，这就是数学阅读与语文阅读的差异。数学语言具有高度的抽象性，数学非连文本的表达的信息通常不是直接的，而是隐晦的，需要学生的二次提取和加工，在初步整理后剔除无关信息，排除干扰，避免误导，保留有用信息。所以在获取数学非连文本信息时，教师要进行适当的策略指导，让学生从机械阅读向意义阅读转化，提高信息获取的效率。

1.正面扫描型获取：全局式把握

这种信息获取方式适合单源性数学非连文本，也就是文本涉及的内容比较浅显，而且描述的主题比较单一，有效信息易于提取。对于这样的数非连文本学生只要对其进行快速扫描阅读，很快就能掌握全局式的信息，从而快速解决问题。

【案例】3月，某小学开展的“向快乐出发”书籍阅读活动，五（1）班同学积极响应，全班参与，鹏鹏绘制了该班同学一个月阅读各类书籍数量的扇形统计表（如右图），从图中可以知道他们班这个月中读的本书最多的是（       ）。

A.小说        B.科普       C.历史     D.散文

此题都是同类信息：某类书籍阅读数量占3月份五（1）班学生阅读书籍总数量的百分比，信息源单纯，从表面上很快就能掌控的全局式信息是“所占比例最大——人数最多”。由图很容易看出阅读小说的数量比例最大，推导出阅读小说的本数也最多。

2.任务驱动型获取：聚焦式把握

    这种信息获取方式适合多源性数学非连文本，也就是文本描述的内容主题较多，涉及知识面广，呈现形式多样，这类型的数学非连文本占绝大多数。对于这样的数学非连文本学生可以抓住所要解决问题中若干个有效信息点，快速去文本中进行信息的定向获取，其特点是实现从信息点向信息块的聚焦式把握，提高了获取信息的针对性。

【案例】调查显示，全球超过八成的青少年运动量不足，已影响他们的健康。为此，有关国际组织呼吁加强对青少年体育锻炼的宣传与指导。根据下列图标提供的信息解决问题。

问题：对照“FITT原则”关于运动时间的要求，小强每次锻炼持续时间达标天数占这两周天数的（     ）%。（百分号前保留一位小数）

    此题信息复杂，并涉及文字、说明表、统计图等两种及其以上的呈现方式，利用正面扫描式策略获取信息，效率低下。我们可以先研读问题，发现第一个关键信息点——“对照“FITT原则”关于运动时间的要求”，那就快速剔除掉说明表中“运动频率、强度、类型”这些信息，保留“每次锻炼持续时间最少30分钟”这个有效信息。问题中还涉及到第二个键信息点——“小强两周锻炼时间”，然后快速找到小强两周内每天锻炼的时间信息（条形统计图），通过简单的选择和判断，不难发现这两方面的信息块之间的直观联系，才能解决这个问题。

（二）信息处理——催生“定量思维”的关键阶段

    在解决数学非连文本问题时，阅读文本获取有效信息只是第一步，它是展开数学思维解决问题的基础和前提。但获取的有效信息可能处于无序状态，也可能逻辑关系不明，需要进行进一步的分析和整理，重构逻辑信息网络，转化为数学问题，这样才能构建相应的数学模型，需求合适的求解策略。

1.数据重整

（1）数形结合式链接

    数学非连文本获得的信息常常是以文字语言、符号语言或图表语言的形式组合在一起的，比较松散，相对割裂，它们之间的逻辑关系比较隐蔽，所以往往我们可以从数形结合的角度去深挖，找到那条关键的联系链，也就理清了信息之间的逻辑联系。

    【案例】六年级下册总复习中有这样一题：

    周大伯把一块长方形菜地分成两部分分别种植黄瓜和番茄（如右图）。种黄瓜的面积比种番茄的面积少180平方米，黄瓜和番茄各种了多少平方米？（先在图中画一画，再解答）

    从文字和示意图中我们可以获取到三个有效信息：长方形菜地长30米，宽20米，黄瓜的面积比番茄的面积少180平方米。它们之间看不出明显的逻辑关系，找不到解决问题的思维突破点。所以题目中进行了思维暗示：先在图中画一画，再解答。简单的一句话，就引导学生向数形结合的方向思考，从图中直观的画出黄瓜比番茄少的面积（如右图），这样就巧妙地直观凸显出一个重要的信息连接点：“宽20米”，“黄瓜的面积比番茄的面积少180平方米”这两个信息可以求出黄瓜比番茄少的那块小长方形的宽，三个信息有效地勾连在一起，它们的逻辑关系水落石出，解题路径一清二楚。

（2）知识延展式链接

数学非连文本直指实际生活，有时还具有一定难懂的专业知识，所以我们在分析处理获取的有效信息时要引导学生不光要从数学知识的角度去衡量，更要从生活实际的方面去思考，这样才能挖掘零散信息背后隐藏的本质属性和一般规律。

【案例】小宇在做一壶冷水加热的实验时，记录了水温变化的情况，并制成了右面的统计图。根据统计图填空。

问题：如果持续加热到第16分钟，此时水温是（     ）摄氏度。

这道题的信息比较简单，学生在分析处理数据是会联想到“折线统计图能表示所统计数据的增减变化情况，也能反映未来数据的趋势”这一数学知识，所以他们自然而然就会填比100摄氏度更高的温度。从数学的角度这样思考是合情合理的，但与生活实际经验相异：水加热沸腾的沸点是100摄氏度，无论再多加热几分钟，水持续保持在100摄氏度。因此，在分析处理信息，进行关系重整时，要引导学生多从生活经验的角度审视知识，审视思维。

2.模型建构

（1）典型性数学问题建模

数学非连文本向现实生活倾斜，它都能找到实际中的原型，从而用数学的眼光建构模型，这是一个高度抽象的过程，需要有一定的归纳、提炼、概括和综合的能力，也需要一定的数学直觉。典型性数学问题就是文本涉及的数学方法或计算公式单一，建构的模型就比较典型明确。

【案例】一辆汽车早上8:00从A地出发去某城：（如下图）

问题：根据图像判断，这辆汽车行驶的路程和时间成（    ）比例，如果汽车保持同样的速度行驶，11:30达到目的地，目的地应该是哪座城市？请你算一算，估一估。

这个问题信息看似复杂，阅读文本要素较多，但是细细分析、比较，概括、归纳，可以看出它只是构建了一个典型简单的比例尺应用的数学模型。从左图中获取到“汽车8:00到11:30一共行了210千米”这个信息，然后根据 “图上距离：实际距离=比例尺”转化而来的公式：“实际距离÷比例尺=图上距离”求出汽车一共行驶的图上距离，最后把图上距离与右图中甲、乙、丙三城估计的长度进行比较，得出最合理的结论。

（2）融创性数学问题建模

融创性数学问题就是大背景下的信息多元、解决路径多维、方案多变的数学问题，它往往需要建构多个数学模型才能解决问题。这种情境下有时光靠个人的思维能力可能不能成功地完成任务，所以在处理信息阶段可以通过小组合作或大组分享等策略去进行资源共享、思维碰撞，让学生在辨析、对比、辩论中理清信息通路，在概括归纳中反复建构多维数学模型。

【案例】某学校买60个篮球。李老师对周边的三个运动用品店进行了调查，发现每个店篮球的单价都是25元，但各个商店的优惠方法不同。所以他进行了整理：

问题：为了节省费用，学校应到哪个商店购买篮球？为什么？

这里有三种优惠方案，每一种解决的数学模型是不一样的，健康运动用品店用的是捆绑销售模型，晓晨运动用品店用的是打折数学模型，而萌宠运动用品店用的是简单的返现模型。从问题的表面来看，是无法很快得出结论的。

经过小组讨论，组1提出：要利用各自的模型方法计算出“每家店购买60个篮球要花费的总价”才能进行比较，得出结论。解题过程如下：

健康运动用品店：60÷（4+1）×4×25=48×25=1200元，

晓晨运动用品店：60×25×80%=1200元，

萌宠运动用品店：60 ×25=1500元，

1500÷300×50=250元，

1500-250=1250元，

1125元  ＜ 1200元  ＜ 1250元，

结论：60个篮球，学校去健康运动用品或晓晨运动用品店买都比价便宜。

组2提出：可以把三种不同的数学模型进行同质转化，都变成打折的数学模型，这样就可以直接比较折扣的大小了。解题过程如下：

健康运动用品店：4÷（4+1）=0.8=80%=八折，

晓晨运动用品店：八折销售

萌宠运动用品店：60 ×25=1500元，

1500÷300×50=250元，

1500-250=1250元，

 1250÷1500≈0.833=83.3%（大约八三折）

结论：60个篮球，学校去健康运动用品或晓晨运动用品店买都比价便宜。

多维方法的交锋，让学生在交流和辨析中拓宽思维的深度，广度和灵活性。在现实问题的实际操练中，体悟到数学非连文本的现实价值和重要意义。

（三）信息评价——催生“定量思维”可逆阶段

信息评价其实就是一个反省修正，不断创新的过程，它贯穿于数学非连文本解决的始终。在不同的阶段进行质疑和反思，检视解题的过程和结果，修改解题思路，调整解题策略，不断补构完善知识体系和方法论系统。在这个过程中，反思、批判、创新等定量思维得到了很好的锻炼和发挥。

1.结果合情性评价

对数学问题的结果及时进行反思和评价，这靠的更多的是一种数学直觉思维，有时也依赖学生所拥有的生活经验的常态知识储备。其实就是从果实向茎秆、根部探寻病因的一种逆推策略，这样的反思修正真正锻炼了学生的合情推理能力和判断能力。

【案例】某学校买58个篮球。李老师对周边的三个运动用品店进行了调查，发现每个店篮球的单价都是25元，但各个商店的优惠方法不同。所以他进行了整理：

问题：为了节省费用，学校应到哪个商店购买篮球？为什么？

这个问题与上述案例比较，只更改了一个信息：“买60个篮球”变成“买58个篮球”，但是学生们完成后却发现与原来的结论大不相同。这时教者就不应该放任自流，一带而过，而是应该继续追问：“为什么会有这样的结果？还有什么变化吗？”，引导学生反思斟酌两道题的区别。在比较中发现总数60个改成58个，对晓晨运动用品店和萌宠运动用品店的优惠政策没有影响，而健康运动用品店却发生了改变：原来60个中有48个要花钱的，还有12个是赠送的，现在58个只赠送11个，还剩的3个不满要求不赠送，所以花钱购买的也是47个，比较起来58个去晓晨运动用品店购买更划算些。

这一个小小数据的变化，其实推动了学生思维的一大步：捆绑销售模型一定要关注购买总数是不是“买送一组”数量的倍数。进一步观察思考，学生还发现在当购买总数不是“买送一组”数量的倍数时也无法转化成打折数学模型去解决。这样在不断反思、对比、概括、综合、再反思的过程中学生解题模型的建构才能更加全面完善。

2.过程合理性评价

对数学思考过程和解题路径进行反思和评价，这真正考验了学生的抽象逻辑水平和学习力。但这种主动反思的习惯并非一蹴而就的，它必须依靠教师平时教学中的点滴渗透。由扶到放的有的放矢的训练，才能逐步把学生的思维向深处诱发。

【案例】1.吴明家到科技馆一共12千米，有一天他坐出租车去科技馆参加未来飞行员训练营活动。出租车收费标准如右图，吴明做出租车一共花了多少钱？

2.为了鼓励居民节约用水，自来水公司规定如右图，吴明家7月份一共用水21吨，他们家7月份要付水费多少元？

案例中问题1解题过程：1.8×（12-3）+9=25.2元，问题2解题过程：3.5×（21-15）+2×15=51元。虽然这两个非连文本材料不同，但通过分析、整理、概括、归纳，不难发现它们都是分段收费数学模型：第一段固定收的费用+第二段变化收的费用=总费用。模型相似，思维路径却有所微调。所以这时教师可以这样引导：“观察比较这两个问题的解题过程，有什么不同？为什么？”用一个导向鲜明的问题把学生的反思目标转向解题思维过程。在对比关照下，发现第一端收的费用两者是不同的，出租车3千米以内（包含3千米）总共9元，而水费15吨以内（包含15吨）每吨2元。一步简单的回顾反想，教师就为学生创造了一个拓展思维深度，激发思维张力的大好机遇。

结   语

数学的“定量思维”是一个复杂的系统工程，它的培育需要数学非连文本这样强大的工作母机。数学非连文本为学生创设了多元多变的信息空间，让他们在比较与选择中学会获取有用信息；在分析、归纳、概括与综合中掌握处理信息的策略，建构有效数学模型；在反思与评价中省视思维，补构知识方法网络。这样学生学到的才不仅仅是数学知识，而是如何进行数学思考，可持续学习力的培养才能成为现实。

【参考文献】

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