《“外延”视野下解决问题策略教学的研究》

课题结题报告

武进区刘海粟小学   王锡康

 武进区鸣凰中心小学 孙秋晴 执笔

《“外延”视野下解决问题策略教学的研究》于2016年12月申请区级立项， 2017年3月开题论证，至今已经第三年。现将本课题的研究情况汇报如下：

一、研究的背景与价值

近年来，随着“情境教学”“启发式教学”的深入推进，数学问题的内涵和外延出现的频率逐渐增加。数学问题解决贯穿于整个小学阶段，解决问题的策略作为小学数学教学重要的内容之一，在小学教学中受到高度重视。基于问题的内涵，拓展问题的外延，让学生在解决问题的策略教学中有更好的过程体验已经逐步成为了数学课堂的发展趋势。

（一）提出的背景

1.         有关概念的界定

“外延”一词在《现代汉语词典》的解释是：“一概念或名词所适用的范围。亦即该词所包摄的一切事物，相对于内涵而言。”它经常与内涵同时出现，外延和内涵是相互关联的，内涵代表概念能反映的事物的本质特征，外延代表的是概念所能囊括的所有个体或样例。

“外延”视野下解决问题策略的教学是指明确所教问题或问题策略的内涵后，通过拓展其外延的方式进行教学，在教学过程中不仅要完成书本简单例题的教学还要拓展到其外延内的其他难题，以此来提升学生解决问题的能力，在解题的过程中让学生有更好的过程体验，不仅从效果上明确解决问题的思路，提升学生的解决问题能力,更是在情感态度方面促进学生自我效能感的获得。

2.         研究现状

现下的小学数学课堂之上问题的外延也在不断拓展，在问题解决范畴有两种突出的表现：一方面在课堂教学中采用“同题异构”的方式进行教学，从外延的不同切入点进行课堂教学，从而让学生在不同角度和方式体会问题的内涵和解决过程；另一方面在课后的练习中采用“题海”的方式拓展问题的外延，让学生在练习中进一步掌握问题的内涵与解决问题的方法。

这两种情形都在某种程度上提升了知识的外延，然而往往顾此失彼，前者虽然形式多样然而问题的同质化程度很高，很难从根本上让学生体会问题外延的拓展过程，后者往往失去了课堂应有的思维和涵养。

20世纪80年代以来，国际数学教育界提出“问题解决”这一重要概念，明确提出“具有解决问题能力”是数学课程的重要目标之一。面对知识经济时代和信息科技发展的需要，我国教育部2001年7月颁布的《全日制义务教育数学课程（课程实验稿）》中，也明确规定：形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。2011年版《数学课程标准》也指出：在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生的已有经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学模型、寻求结果、解决问题的过程。不难看出，“解决问题”不仅是数学学习的目的，而且也是数学学习的重要方式。

反思现状，当下的教学或者研究基本只是一种形式上的拓展外延，而没有将外延拓展的效果与结果真正受惠于学生。在“同题异构”的情形中看似学生经历了解决问题的过程，就应该掌握了策略，然而学生缺乏对策略的内需，策略教学的效果只具有短时效应，策略教学的深度浅尝辄止，不能真正提升学生解决问题的能力。在“题海”的情形中，学生自主学习能力不强，盲目采取题海战术，只会进一步削弱学生的学习兴趣，学生的解题能力纵然有一定程度的提升，但是长期不能积极参与到课堂讨论中来，学生的学习兴趣，学习热情等非智力因素将被消磨殆尽，不利于学生的长远发展。

由此，拓展学生的外延，首先要激发学生的学习兴趣，刺激学生对策略的需求，其次在教学过程中应有层次的让学生反复利用策略并尝试解决问题以掌握策略，最后还要让学生利用策略解决生活中的难题，以进一步激发学生的学习兴趣。

（二）理论依据

（1）布鲁纳的发现学习理论

布鲁纳认为学习就是学习者与所学习内容之间建立一种认知结构，掌握这一学科的基本结构以及研究这一学科的基本态度和方法，倡导教师运用启发的方法进行引导教学。所谓发现法是指教师为学生设置一定的问题情景并提出明确问题，让学生带着问题观察具体的事物，从而提出问题假设并通过问题讨论，最后得出概念或原理的学习方法。发现学习是指让学生通过自己的观察和亲身体验来发现问题解决的步骤从而获得知识的一种学习方法。它是把探索知识和学习知识的整个过程综合了起来，让学习者在探索的过程中经历知识形成和发展，最后理解并掌握知识的方法。 

（2）建构主义学习理论

建构主义指出，学习是指学习者在面临问题情景时，将自己原有的知识经验和在面临问题情景时所掌握的新知识经验相互之间产生交互作用过程中所形成的。它与传统的教师简单地把知识单向地传授给学生是有很大区别的，它认为学生在面临新知识的时候，脑袋并不是空白的，而是在自己已有知识经验的基础上，对外在的信息重新进行主动的理解识别、分析和处理，学生的知识经验会重新建构。

（3）精神助产术

苏格拉底的“精神助产术”以独特的教导方式启迪学生对问题的思考：教师通过不断发问使学生主动地去分析、思考问题，从辩论中弄清问题，通过层层设问，步步引导，最后找到答案。这种方式既注重发挥教师的主导作用，又注重激发学生的主观能动性；正确处理了“渔和鱼”的辩证关系，侧重了学生自学能力、创新能力、综合运用知识能力的培养；恰到好处地把握“引与发”的辩证关系。

（4）杜威问题教学思想“教学五步”

“五步教学法”简明地概括为：情境、问题、假设、推论、验证的五步。教师给儿童准备一个真实的经验的情境。在这个情境中须能产生真实的问题作为思维的刺激物。从经验的占有和观察中产生对解决疑难问题的思考和假设。儿童自己负责一步一步地展开他所设想的解决疑难问题的方法。儿童通过应用检验他的观念是否有效。

（5）最近发展区

维果斯基的“最近发展区理论”，认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区。教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展。

（三）意义与价值

1、依托“外延视野”建立系统的解决问题策略教学体系，从难题驱动——化难为易——以易解难——难易互易的过程出发，进一步提炼“外延视野”下解决问题策略教学的一般步骤，以进一步优化解决问题策略教学。

2、以本研究为依托，进一步研究设置怎样开放有向的难题能激发学生的学习热情并促进学生思维的形成引导学生学习。

3、让学生在化难为易，以易解难，难易互易的过程中充分体会策略学习的方法，以加强策略的掌握程度。

4、以本研究为依托，进一步完善课堂教学评价体系，一方面促进学生学习，另一方面让教师改进教学。

二、研究的目标、内容与方法

（一）研究目标

1、通过研究和实践，形成“外延”视野下的解决问题策略教学方法和策略，形成活跃的高效课堂，提炼转化和应用能力，促进智慧课堂的有序养成。

2、通过研究和实践，提高学生对解决问题策略的内需和效能，形成自主高效的数学学习氛围，提升融会贯通，触类旁通的数学思维，真正做到选择合适的策略解决实际问题。

3、通过研究和实践，提升我校数学教师的教学水平，提高教育教学质量，推动数学课堂教学改革与研究。

（二）研究内容

1、梳理苏教版小学数学教材中与解决问题策略相关的所有内容，并进行整理和归类，理出符合本次研究的所有课例。

2、探索小学数学 “外延视野”下解决问题策略的教学方法和策略，并形成成熟的教学模式。

3、制定适切小学数学“外延视野”下解决问题策略研究的课堂教学评价表

4、制定“外延视野”下解决问题策略数学学习能力评价表。

（三）研究方法

1、文献研究法。通过查阅报刊、杂志、网络上与本课题相关的基础理论，应用理论资料，及时进行分析整理，结合自身的研究状况和最新信息，保证课题研究方向的正确性。

2、调查研究法。运用调查问卷在研究前和研究后对教师和学生的状况进行了解和统计，通过比较分析，验证课题研究的实际成果。

3、课堂观察法。根据教师在课堂上对学生的课堂状态和学习情况的进行观察和记录，根据学生的表现对教学进行灵活调整，以保证课题研究成果转化的效率。

4、行动研究法。在行动研究中不断调整计划，并在实践中采取相应行动，不断探索、改进和解决研究中出现的实际问题，提高行动质量，改进实际工作。通过观察反思逐步推进研究。

5、经验总结法。通过对课题研究活动中的具体情况，进行归纳与分析，使之系统化，理论化。

三、研究的过程与措施

（一）课题研究措施

1.学习交流，充实课题研究内容，丰富课题研究的内涵

我们引导并组织教师学习相关理论，更新教育理念，充分认识本课题研究的重要性、必要性，以满腔的热情和科学的态度投身于研究，扎实有效地开展工作。以“自学、导学、交流”等形式加强课题组成员的理论学习，促进他们转变观念，扎实进行课题研究工作。

个性自学：我们在校园里倡导学习工作化，工作学习化，自学已成为教师的自觉行为。在个性自学的过程中不仅充实自身的科研素养，还及时将发掘的书籍、案例、理论等在课题组乃至整个学校进行推广，如：潘小福著作《小学数学教材的专业化解读》与《小学数学课型范式与实施策略》、陈静静《揭开学习的奥秘——焦点学生学习历程观察与关键事件分析》等等，课题组的老师也多次参与校外学习，比如参加常州市第二届乡村骨干教师培训，积极参与省市区的各项培训等，进一步扎实教师的理论功底，丰富教师的文化底蕴。课题组的老师用丰富的学习方式根据自身的学习要求进行合理的个性化学习，让自身的研究素养不断提升，以实现本课题研究的不断深入。

专家导学：我们组织一批又一批老师外出聆听一些名师、名家的讲座，如吴正宪老师的《儿童数学教育》，特级教师陈美华《小学数学实验教学的内容规划与实践策略》，教科院副院长潘小福《常州数学课堂，创造面向每一个学生的数学教育》，特级教师徐斌《无痕教育的内涵与策略》等主题讲座，也积极参与诸如《教育研究与评论》杂志社主编朱凌燕《教育论文的写作与发展》的论文写作指导，还邀请名师如常州市特级教师张祖润，常州市教科院副院长潘小福，江苏省评优课一等奖获得者管晓东、单信等进校园为全校老师进行课堂展示与主题讲座，专家的研究切入点和研究方法让课题组全体成员有了更加全面的认识与体会，所有老师对当前教育的形式有了更加深入的认识，对研究方法的使用也有了更加直观的展示和引领，也理清了教育热点与难点，拓宽了教师的研究视野。

交流互学：课题组老师定期开展教研活动，对近期的科研情况进行交流与总结，把遇到的问题抛出大家一起研究；每次参加完主题学习之后大家都会自觉讨论名家的做法与思路可以怎样应用到我们的课题中来，以进一步丰富课题的研究内容与研究方式，我们还及时进行学习与教学反思，让实践的成果得以记录与保留，为后期的总结与提升提供有效论证。在这样有效的交流碰撞中，课题组成员的思维不断进行优化与调整，研究也变得更加自然而有活力。

2.研究实践，扎扎实实开展课题研究。

（1）梳理教学内容，探寻适合课题研究的教学内容

理论学习的同时，教研组老师分工合作将苏教版12册数学教科书中与“解决问题”相关的内容进行了梳理和分类，将适合本课题研究的课例进行了有效的整合，使的课题的课堂研究成为可能。

（2）理论与实践结合，以问题为抓手深入研究

在研究过程中，我们注重把学习所得应用于教育教学实践，平时的每节课都是课题研究课，有明确的研究意图。在实践中遇到的困惑我们就再进行深入研究，然后再实践，如此循环往复。同时，我们还注意科研资料的积累，包括理论学习材料、活动记录、研究课教案、课题论文等，便于我们回顾工作的进程和分析存在的问题。

3.互动反思，使课题研究始终焕发活力。

每学期初，我们要求课题组成员自主申报课题研究公开课，然后根据上报情况统筹安排。每节课题研究公开课，先由执教老师围绕课题研究进行思考、设计，然后由课题组的全体成员一起集体备课，研讨各个环节的研究意图是否明确、合理，接着大家一起听执教老师上课，课后大家再一起围绕课题进行评课，重点看每一环节的研究意图是否切实得到落实，哪些地方还需调整或改进。研究、互动、反思是我们的日常行动。

在课题研究中，我们注意及时总结反思，对课题研究工作进行提升，便于明确今后的努力方向，使课题研究始终焕发活力。

（二）课题研究过程

第一阶段：2017年1月—6月，启动阶段。设计研究方案，成立课题组，明确研究思路，制定研究计划，落实研究任务。

第二阶段：2017年9月—2018年1月，理论研究阶段。学习和课题研究相关的教育教学理论、先进教改经验，进行课题研讨。

第三阶段：2018年2月——2020年6月，行动研究阶段。扎实进行课题研究，积累研究资料，撰写课题研究论文。

第四阶段：2020年6月—11月，深化研究和总结阶段。全面总结研究过程，撰写课题结题报告。

四、研究的成果

（一）苏教版小学数学教材中与解决问题策略相关内容的梳理

本课题组在组员的合作之下，对苏教版12册数学书进行了仔细研读，并对其中与解决问题策略相关的知识进行了梳理。

通过梳理，我们发现除了三到六年级的教材中明确安排了《解决问题的策略》单元，其他年级的教材中也隐含着解决问题策略的教学，因此我们对这部分内容进行了有效梳理（如下表1表2），为研究的有效深入做铺垫。

（插入表格）

（二）“外延”视野下解决问题策略教学的内涵与价值分析

“外延”一词在《现代汉语词典》的解释是：“一概念或名词所适用的范围。亦即该词所包摄的一切事物，相对于内涵而言。”它经常与内涵同时出现，外延和内涵是相互关联的，内涵代表概念能反映的事物的本质特征，外延代表的是概念所能囊括的所有个体或样例。

“外延”视野下解决问题策略的教学是指明确所教问题或问题策略的内涵后，通过拓展其外延的方式进行教学，在教学过程中不仅要完成书本简单例题的教学还要拓展到其外延内的其他难题，以此来提升学生解决问题的能力，在解题的过程中让学生有更好的过程体验，不仅从效果上明确解决问题的思路，提升学生的解决问题能力,更是在情感态度方面促进学生自我效能感的获得。

1、依托问题解决，把握数学本质

外延视野是一种解决问题的思维方式，是一种以难题为抓手的数学研究方式。生活学习中的很多问题都是难题，要把难题变成能够解决的问题就要借助这样体系：化难为易可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，揭示问题的内容和本质；以易解难可以使思维从简易转向更高级更抽象的思维水平；难易互易可以在学生已有的知识和解题能力的基础上进一步拓展学生的创新意识和思维水平，进而理解和把握数学的本质。

2、培养推理能力，促进数学理解

推理能力是一种应贯穿于整个数学学习过程中的重要能力。推理分为合情推理和演绎推理，合情推理是根据已知判断得出新判断的思维过程，演绎推理是思维进程中从一般到特殊的推理。在这个体系中，难题可以激发学生的推理能力：在化难为易的过程中可以培养学生逻辑推理的能力，在以易解难的过程中可以培养学生合情推理的能力，在难易互易的过程中推动学生对难题对数学的思考，加强对数学的理解。借助合情推理和演绎推理能启迪思路，帮助理解难题的内容和实质，提供解题的思路和技巧，从而促进学生对数学的理解。

3、启迪解题策略，深化数学思考

学习过程中，化难为易可以帮助学生更好的理解和掌握问题的本质，使问题更加的简单，直观，便于解决以理清思路。以易解难的过程使学生真切的感受到难题的解决过程，从无到有，以小见大在解难的过程中真正深入理解和掌握相关数学知识。难易互易的过程是学生把握数学思想，数学思维，恰当运用数学知识和方法解决问题的过程。由此可见，难易互易的过程可以培养学生解决问题的直观洞察力，探寻解决问题的思路，启迪解决问题的策略，深化学生对数学的再思考。

（二）探索出“外延视野”下解决问题策略的教学方法和策略

“外延”视野下的解决问题策略教学课堂是一种对教材的重构和对教法的创新，是一种有效提升学生解决问题能力的教学方式之一，其教学过程主要有以下四个过程：一是难题驱动，激发学生对策略的内需，引领思维；二是化难为简，从简单入手，感悟方法；三是以易解难，从已有结论出发层层推进解决难题，解构模型；四是反思深化，难易互易，促进理解。“外延”视野不仅仅拓展了学生解题的视野提高了学生的解题能力，而且在一定程度上可以培养学生的推理能力和模型思想，让学生从“看客”转变为“创客”，让思维“逻辑”与“层次”结合，让学生的“经历”和“经验”相长。

【方法与策略一】：利用难题驱动，激发学生对策略的需求，引领思维

数学总是来源于生活而高于生活，从生活中引入的数学问题往往能从某种程度上提高孩子的学习兴趣。然而生活中的问题往往都是难题，在解决问题的策略教学中把这一难题作为教学过程中的一个点，让学生在解决问题的过程中形成对策略的体验。用难题激发学生的问题意识和创新意识，用难题引发学生的数学化观察和思考，以引发策略。

有意设难，是教师精心安排的思维跳板。把这一具体问题作为一个点，让学生在解决问题的过程中形成对策略的初体验。这种体验不是形式上的利用策略解决问题，而是依托难题，形成一条策略的主线，让学生体悟到解决同一个问题也不是只限于一种策略的应用，面对同一个问题，有时会有多种策略的综合运用。这样一来在解题的同时策略与数学思想贯通，不仅增强学生的学习和综合应用策略的意识，还能让学生体会策略在数学实际应用中的价值。

有意设难，一方面是对学生的考验，课堂上难题的讲解不仅仅让学生掌握难题的解决方法，更是帮助学生在今后学习和生活中积累解决难题的经验。另一方面也让学生在思考过程中有意或者无意趋向于策略的构建和应用，学生自己探索出的方法往往印象更加深刻，为今后灵活使用策略埋下伏笔。

有意设难，是教师故意设置的绝境，在情形复杂的绝境中，学生往往不能利用已有知识解决问题，他们不得不另辟蹊径。这样学生的创新意识就在难题中萌芽，创新能力就在尝试解决难题的过程中逐渐形成。有意设置的难题，在培养学生的创新意识的同时，更激发了学生的学习热情，以如何解决这个问题为导向，学生更加愿意探索解决问题的策略。

在利用难题引入课题，激发学生学习兴趣必须要注意如下几点要求

1.         设置的难题必须与本节课的教学内容处于同一外延。

初遇难题时的束手无策将迫使孩子想方设法将难题降阶成为同一外延下的较简单情形去寻找思路，所以一开始设置的难题必须与教学内容保持一致，让要解决的难题成为比书本例题难度略高的相同题型。在增加难度时，可以采取增加问题的数量，增加条件和问题描述的复杂程度，增加解题的步骤或者减少部分条件的方式。这样学生在降阶的过程中也比较容易降阶成为书本例题的形式，以此为出发点开始策略的学习。

【案例】在苏教版五年级下册《钉子板上的多边形》一课中可以以这样的一个难题引入：你能迅速求出这个不规则图形（图一）的面积吗？通过以往知识的，学生通过割补法求面积的速度很慢，大多数学生也不愿意用这样麻烦的方法进行尝试，部分学生就可能会进行思考：是不是有更好的方法来解决这个问题？今天的数学课可能就是用这样的方法来解决图形的面积问题。一方面促进学生的思考，另一方面也是对学生学习兴趣的激发。此时教师顺势引导：你想学习快速求解这个图形面积的方法吗？今天我们一起来学习钉子板上的多边形。

2.         设置的难题尽量与实际生活联系，以帮助学生理解问题

问题与生活实际的相关性很大程度上影响着学生对问题的理解，以至于影响问题解决。在设置难题时应尽量设置与学生生活实际关联的问题，充分利用学生已有的数学活动经验帮助自己解决问题。

3.         设置的问题必须有向开放，不仅要有探究性也要注意包含一定的趣味性。

一个有向开放的数学问题能引发大多数孩子的有意义思考，为本节课的学习做好第一手准备。因此在选择难题的时候应该选具有探究性的问题，以便于课堂探究的有效进行，同时也要兼顾趣味性，让好奇心和正面情绪成为数学学习的有效推进器。

【方法与策略二】：引导化难为易，让学生感受最简情形，感悟方法

难题之所以难往往表现在它的多元性高阶性和不确定性。解决实际问题的难点往往体现在视角复合，问题无形，多元联系等方面，简单题往往有形可依，视角单一。在学习过程中学生将难题和简单题分割，区别对待，拈易怕难。因此如何引导孩子解决难题是课堂教学中需要关注的要点，它不仅仅是一种解题策略，还是一种数学思想，更是一门人生哲学。

1、引导孩子克服畏难心理，鼓励孩子从不同角度尝试解决难题

对于中高年级的孩子来说，他们解决难题是有技巧的，对于一些数量多，关系复杂的难题他们往往已经学会了从简单想起。但是对难题的惧怕心理限制了他们对问题的探索，因此在实施教学之前，首先应引导孩子克服这种畏难心理。

【案例】苏教版五年级下册《和与积的奇偶性》中不少孩子对1+2+3+4+5+6+……+100这样长算式结果的奇偶性十分畏惧，在他们心目中，这是一类难题。先计算再判断是大多数同学的第一反应，然而在没有掌握“高斯算法”的前提下，这样的计算量也是普通学生难以应对的。学生的反应是真实的，也是很多学生普遍存在的困难，但是这种困难从本质上来说只是数量的增加，稍加引导学生就能敏锐的想到从两个数开始想起，逐渐发现规律并解决问题。此处的难不过是一叶障目。

要克服这种畏难情绪首先要在平时教学中注意加强对难题的思考和探索，让学生在平时的学习中就有一种本能的解题意识，其次要在平时的解题指导中进行这样的渗透：遇到难题时是否能从多个不同角度尝试解决问题，以降低解题的难度，最后要引导孩子从简单想起，从简单想起是一种常用的数学思维，也是一种优秀的思考习惯，更是一种高效的解题策略。从简单入手的过程中，学生将对难题的解决过程转化成了对简单题的思考，在化难为易的过程中，题目的内涵没有发生变化：即解题思路和策略没有发生变化，只是相比于原题，解题的过程和难度适当的简化了。

2、培养学生的推理能力，让学生具备相当的数学解题思维

化难为易，本质上是学生运用演绎推理能力，对同一外延下的难题和简单题进行了转化。学生从一般性的问题出发，通过演绎，退到所有一般问题的最简单形式——即最特殊最简单的问题。在这个过程中一般性的问题蕴含着最简单的情形，他们两者之间存在某种必然性，能解决一般性问题的方法或策略一定能解决最简单最特殊的问题，解决一般性问题的方法或策略是解决简单问题的方法或策略的充分条件或者充要条件。在化难为易的过程中，学生的思维保证了严密性，一贯性，难题的解决方法蕴含在简单题中。在解决简单题的过程中学生对解决问题的策略有了最初的体验，这种点状的体验在之后难度逐渐增加的过程中慢慢连接成线形成策略意识，最后在学生自己的理解下成为一种策略能力并入综合素养。

【案例】在苏教版四年级下册解决问题策略教学中以这样的难题引入：“某班级25位同学一共收集了630本课外书，其中24位同学的课外书本数相同，班长小李比其他同学多收集了5本，这个班级每位同学收集了多少本课外书？”这样一道含有25个量的和差问题的难度可能让不少学生望而却步，但是学生是充满好奇和可能性的人，他们充分发挥演绎推理能力将难题简化为同一外延下的最简单最特殊情形：小李和小林一共收集了55本书，小李比小林多五本书，小李和小林各收集了多少本书？

这两种情形从25人情形转化成了2人的情形，难度和过程尽可能地进行了化简，难题的解题策略完全蕴含在最简单的情形中。在探究最简单情形的过程中，学生对解决问题所用的画线段图策略和数量关系有了最初的体验，这种饱含胜利喜悦的初体验往往会成为学生合情推理的源动力。有了这些点状的知识技巧经验的积累，学生尝试合情推理将情形复杂化，从2人的情形逐渐拓展到3人，5人甚至25人。

在难题的引发下，学生进行了深入的钻研，绝大多数学生有了自己的数学思考，然而不可否认作为难题，完全解决还是有难度的，此时教师应适当进行启发引导，激发学生的演绎推理，将难题降阶为与之同一外延的最简单最特殊的情形，这种最简情形必须蕴含这难题的解题思路和策略，学生在解决最简情形的过程中对策略的有了最初的体验。这种体验往往包含着胜利的喜悦，是学生数学学习的源动力，这种体验往往也是浅层，不够完善的。学生在解题策略的体验过程中往往能够举一反三，在最简情形的解题过程中往往有若干种不同的解题策略，不同的解题策略对学生构建模型都有一定的帮助，在简单情形的解题过程中学生逐渐形成了策略，化难为易常常能让学生的思维一跃千里。

【方法与策略三】：启发以易解难，让学生在递进的环境中感悟策略，解构模型

1.引导学生先解决最简单情形，再鼓励孩子在初次获得成功体验之后进一步探究难题

在以易解难的过程中，学生合情推理的能力得到了最大限度的开发，在推理的过程中解决问题的策略反复使用，充分彰显了策略的工具性和实用性，更让学生明确在何种情形下运用这种策略。在以易解难的过程中，学生从点状的经验出发迈出第一步合情推理出稍复杂的情形，在验证这种情形的正确性之后，学生往往不再满足于这样的“小步前行”，往往开始尝试“大步跨越”，这不仅仅是解题能力的提升，更是学生解题自信的完美体现。

【案例】2011版数学课程标准附录中有这样一道例10：在右面的图二中，描出横排和竖排上两个数相加等于10 的格子，再分别描出相加等于6，9的格子，你能发现什么规律。本例意在帮助学生熟练的进行20以内的加法，并且数值与图形结合，有利于学习坐标系，图像等。如果在观察和发现规律中有困难，教师可以引导学生从简单情形入手，比如两个加数先限制在5以内；再从简单情形入手拓展到较复杂的情形，在反复操练过程中发现问题的本质达到以易解难的效果。

在挑战难度渐增题目的过程中学生逐渐形成了自己的解题意识，对策略的使用环境有了更深的认识，有助于形成解决问题的策略性。在化难为易，以易解难的过程中学生往往要尝试用同一种策略解决由易到难的若干个题目，这些同一外延的题目在多次操练后在学生思维中刻下了印象深刻的模型。在难易互易的过程中，学生的模型意识也得到了很大程度的锻炼，从单一的解题意识逐渐过渡到完善的策略意识。

2.在课堂中积极与学生交流，优化解题思路，明确解题策略

从最简单情形出发，从最开始的点状策略体验出发，逐步解决难题。在学生合情推理以易解难的过程中，教师要做适当引导，根据学生的实际情况确定下一步的解题方向，一般从稍复杂情形出发，继续探究解决问题的策略。

利用学生刚刚获得的成功体验继续深入学习，解决稍复杂问题是对学生策略的优化，也是对模型的初次解构。在最简情形中的若干种策略可能已经不能全部用以解决稍复杂问题，学生在解题过程中自然而然对解题策略进行了优化和选择。此时教师应更加明确选择策略的合理性，以进一步优化策略。

【案例】五年级上册《解决问题策略》第二课时可以引入这样的一个握手问题：345人参加会议前互相握一次手，一共要握多少次手？从2人，3人，5人的情境出发，学生逐渐找到了第一种解决问题的方案便是加法1+2+3+4+……，大胆尝试之后发现虽然能找到345人的算式，但是计算难度略大，因此继续回到原来的5人情形（如图3），发现每人都要与其他4人握手，即握手4×5=20（次），但是这样两人之间实际就握手了两次，因此还要20÷2=10（次），在这样思考的基础上，学生自然想到用344×345÷2就是握手的总次数。难题在此时不仅仅是最终要解决的问题，更是在某种程度上成为了优化算法的根本原因。

在这种循序渐进的过程中学生的合情推理能力受到了极大的激发，受此启发，他们步步为营，逐渐尝试解决难题。在学生“小步前行”的过程中教师应鼓励学生大胆尝试“大步跃进”，用同样的策略解决更复杂的问题，难度陡增的过程既是对学生策略应用能力的挑战，也是对学生学习能力的激发。在以易解难的过程中，学生解决问题的模型在难度逐渐增加的题目中解构，解决问题的策略进行了极大的优化，对策略的应用情形有了更深的认识，培养了学生解决问题的策略性。

【策略与方法四】：改善教学观念，提高学生问题解决能力

1.深入学习课标理念，把握问题解决目标与要求。

在数学问题解决能力培养上，教师必须具备科学正确的意识，对其中理念进行深入的理解，才能对学生进行合理的指导。《课程标准》中对问题解决进行了具体的阐述，每一个教师都应该对其有所把握，并应该生成自己的理解，做到与自己的实际教学相结合。除了要把握总的目标之外，教师还要对各个学段具体的目标与要求进行学习和理解，与自己的课堂建立联系，加以贯彻和应用。

对于学校来说，应该高度重视教师基本理念和先进思想的教育和指导，改变集体学习流于表面和过于形式化的状态。对于教师自身来说，要有终身学习的态度，主动去接触作为教师必须要把握的理念，不仅要做到深入理解，更要不断进行反思和思考，让自己的课堂教学活动与行为符合基本的理念，在课标正确理念的指导下去采取策略，提高学生数学问题解决的能力，才能做到对症下药，收获事半功倍的效果。

2.灵活准确运用教材，拓展问题解决能力提高的途径。

小学生提出问题的能力比较低，关键是看教师如何科学的处理教材。针对苏教版这教材的特点，教师在教授低年级的时候不能因为没有独立的问题解决学习单元就不对学生进行这方面能力的培养。低年级学生问题解决能力的培养是为以后高年级能力的提升打基础的阶段，因此，教师在教学中要尽可能灵活的使用教材，通过学生合作与探究拓宽问题解决能力提高的途径。

【案例】关于小朋友做操的问题：“小朋友排成纵队做广播体操，红红的前面有6人，后面有8人，这一队一共有多少人？”有的学生看到信息马上列出算式：6＋8＝14（人）。老师并没有马上否定学生的做法，而是启发学生在纸上用简单的符号来代替，示意图画好后，学生明白还有红红没算进去，正确的应该是15人。通过画图，学生将此问题解决了……

低年级学生的年龄局限，放手让他们在纸上涂涂画画可以拓宽思路，启迪思维，激发学习兴趣，从而找到问题解决的办法，也使学生积累了一些常用的解决问题的方法，对合理地使用方法有所体验。

当然，教师也不能因为高年级设置了问题解决独立的单元学习而忽视在其他单元新授课时对于学生问题解决能力的培养。并且，课堂上教师宁可少讲一点，也要把时间和机会留给自己的学生。此外，“问题解决”教学过程对教师如何发挥主导作用提出了更高的要求。教师在设计教学过程时，既要备“书”，又要备“人”。根据学生的具体情况灵活组织教学，这样教师的担子重了，学生的负担轻了，促进了教师业务素质和教学水平的提高。

引导学生从自主探索、合作发现问题只是学生学习的一个手段，并不是问题解决学习的目的。其真正的目的是让学生提出新问题。学生提出问题的能力得到了提高，其主体作用也就能真正充分发挥出来，学习中才能更好的自主探究与发现，从而拓宽了学生能力培养的途径。

3.加强年级之间教学交流，循序渐进提高问题解决的能力。

低年级教师认为解决问题的策略教学在三年级才会学习，低年级没有这一部分内容。还有部分教师认为只有在解答传统的应用题教学中用到涉及学生问题解决能力的培养，平时的其他教学中没有这个要求。殊不知学习过程是一个循序渐进的过程。尽管苏教版小学数学教材中没有在第一学段安排具体的问题解决策略学习单元，但是教材中依然有明显的能力培养安排。在高年级，转化策略是六年级下册的“解决问题的策略”教学内容，但五年级上册的教学其实主要体现的就是“转化”思想，如：小数乘法转化整数乘法；除数是小数的除法转化成除数是整数的除法；多边形面积计算等。

因此，教师在教学过程中应加强低年级与高年级之间的教学交流，通过开展集体备课，专题研究等形式的活动，循序渐进的培养问题解决的能力。

（三）提炼基于“外延视野”的解决问题策略教学的流程模式

我们课题组就解决问题策略课型进行了依托“外延视野”的有效研究，结合解决问题策略课型的特点，通过大量的实践摸索，我们提炼了“外延视野”下解决问题策略教学实施的教学流程模式（图四），如下：

在教学过程中我们也逐步发现了如下这样的教学“四部曲”（图五）：

（四）制定出适切“外延”视野下解决问题策略教学评价表。

为了促进深化“外延”视野下解决问题策略教学的研究，我们课题组还研制出了相应的课堂教学评价表。有了针对强的课堂教学评价表，可以及时为我们的研究课堂诊断把脉，反馈信息，为我们的课题研究调控方向。

此评价表（见下表）的制定经过 “拟定—试行—修订—试行—再修订”这样过程的多次完善修改，才最终定稿。它突出学生发展为本的理念，主要从“学生活动”和“教师活动”两个维度来进行综合评价。“学生活动”从“学习方式”、“学习水平”、“学习效果”三个方面进行考察评定，“教师活动”从“有意设难环境营造”、“难易互易策略实施”、“教学评价”三个方面进行考察评定。为便于增强评价的指向性和操作性，在两个评价维度上共给出了28条具体评价要点。这样就构成了“两个维度、六个层面、二十八项评价要点”的三级课堂教学评价标准。本评价表,从“外延”视野下解决问题的教学策略实施的过程和效果把研究课堂分为四个等级。

A级：目标凸显，创设优良的学习环境，精准地高阶难题引入课堂，在化难为易以易解难的过程中组织活动，学生对解决问题的策略有了很好的掌握与提升，对难题的解答方法有了自己的体会与感悟，培养了他们的高阶思维和学习能力，课堂高效。

B级：体现学生的主体性，创设优良的学习环境，较好地实施了难题引入—化难为易—以易解难的过程来组织和帮助学生学习新知点设计课堂，学生掌握了一定的解难方法，锻炼了学生的思维力和学习力。

C级：目标明确，流程清晰，能渗透化难为易或者以易解难的意识去引导学生进行新的学习，但是方法指导上还不到位，学生难易互易的能力还有待扎扎实实的锻炼。

D级：目标混乱，没有找到内容和方法上便于学生理解难题，难易互易的点，学生的思维力和学习能力稍有提升，课堂停滞。

“外延”视野下解决问题策略教学研究课题课堂教学评价表

评议人：“外延”视野下解决问题策略教学的研究课题组

1、制定出 基于“外延”视野小学生数学学习能力评价表。

除了要诊断教师教学中基于“外延”视野策略的实施情况，更要真实地了解学生在此过程中数学学习能力的发展情况，所以我们课题组每学期编制不同的解决问题策略数学学习能力检测卷，主要选择教材中便于难易互易的典型问题，采取开放式的或一题多解式的问题形式呈现。然后教师对学生答题情况进行下表分析，描述记录，从而得到学生基于“外延”视野数学学习能力的最终评价。这种评价方式融合了量化评价和质性评价的优势，很好地聚焦了学习的结果和过程，对学生解决问题能力有了一个更客观科学的评价。

五、实践成效

（一）学生方面

经过几年的训练和培养，学生不仅熟练地掌握了数学基础知识，基本技能，而且养成了在学习新知或遇到问题时能自觉运用化难为易以易解难的策略和方法来构建新的知识体系或解决问题的习惯，提升了数学学习能力，培养了他们善于变通，活学活用，融会贯通，触类旁通的思维能力，强化了学生可持续的发展力。学生们在数学学习中不仅提升了能力，提高了效率，涵养了学习素养，更收获了成长的自信。在几年中他们撰写的数学小论文在各级各类比赛中获奖，很多同学光荣地被评为了小小数学家。

（二）教师方面

在研究实践中，老师们进一步更新了教学观念，并把先进的教育思想内化为自己的教育教学理念，转变为自己的教育行为，增强了为学生终身发展服务的意识，专业素养也得到了全面提升。三年以来，课题组老师的多篇论文在各级各类刊物上发表或在各项评比中获奖，其中25篇课题论文论在省级刊物上发表，28篇获得省市区级一二三等奖。课题组有5位教师在区级评优课、基本功比赛中获一等奖，两位教师成长成为武进区骨干教师，一位教师成长成为常州市教学能手，两位教师成长为常州市教坛新秀，一位教师被评为武进区优秀教育工作者，5位教师获得武进区政府嘉奖，一位教师获得武进区政府立功奖励。

课题组成员在省级以上刊物发表和区级以上获奖课题论文情况统计表

课题组成员专业发展情况统计表

（三）团队融合

通过本次课题研究，在课题组成员的引领下，整个数学团队拥有了更加浓厚的教研文化，教师自发形成学习共同体，在同伴互助，小组合作，专家引领等一系列活动中，本校教师的自主学习能力与教科研能力有了较大的进步，学习共同体也逐渐融合成为教科研共同体。

六、问题与展望

我们的课题研究虽然目前获得了一定的研究成果，但在某些方面研究的深度和广度还有所欠缺，还需进一步研究。如还应进一步探究怎样的难题既能激发学生兴趣，又能避免打击学生的学习自信。此次研究的着力点主要集中在解决问题的策略中，其实小学数学的其他方面比如数与代数领域和图形几何领域也适合这样的教学方式，这也有待于下一步进行研究。

我们在实践探索中也发现发展学生的应用意识并不是一件一蹴而就之事，需要花时间、精力不断培养学生良好的习惯，认真的态度，扎实的基础和简捷的技能。虽然我们的课题即将结题，但我们的研究还应继续，更细化研究目标，更具化研究过程，更深化研究内容，更优化评价标准，更广化研究成果，为了学生的终身发展服务。

《“外延”视野下解决问题策略教学研究》课题组